半个世纪的悬而未决

在1969年的时候, 当数学家首次构造出指数为1.0290的集合之际, 那时根本就没有人能够想到, 这个数字竟然会让学界被卡住长达半个世纪之久。从1973年的1.0598起始, 一直到2013年的1.1259, 每一次取得突破, 都历经耗费长达十余年的时间。就在去年, 借助AI辅助搜索, 才把数值推进到了1.1449, 然而距离理论极限2, 却依旧遥远得根本无法触及。这个问题表面上看起来好似冷门一般, 实际上却实实在在地牵动着整个加法组合学的基础框架。

和差集扩张的本质

取出一个属于有限整数范畴的集合A, 将其中任意的两个元素进行相加操作从而获得到和集, 把任意的两个元素进行相减操作进而得到差集。因为重复的结果只算作一次, 所以集合会出现扩张的情况。数学家针对此定义了两个指数以用来衡量扩张的速度了, 经典不等式给出了较为宽松的上界2。但是2到底能不能够被逼近, 又或者是存在更加紧凑的天花板, 这也就成为了核心的谜题了。陶哲轩等顶尖的学者都曾经尝试去进行突破, 然而传统的枚举方法在规模不断增长的时候计算成本会出现爆炸的情况, 很难去构造渐近证明。

Hyra的破局思路

混元团队居然责令Hyra, 先于有限搜索范畴之内, 谋求将结果从原本处于的1.14之态提升至1.21, 紧接着就转变方向, 投身于自然语言构造领域。历经24小时的持续运行之后, Hyra竟然提出了借助十二进制数字结构去掌控差集, 使之与循环群对称加法基以及中国剩余定理相互结合, 以此让和集能够做到以近乎平方的速度去进行扩张。这般的思路, 竟然跃出了传统枚举所设定的框架, 直接给出那种相当明确直观显现的构造类别。

决定性的一步

Hyra所构造的集合族具备这样的特性, 即不管你设定怎样一个无比接近2的目标。那么依照此种情况, 都能够寻觅到与之相对应的集合。进而使得该集合指数能够超越你所给定的这个无比接近2像极度逼近2那样的目标。这一情况切实证实了2真正是上确界。而并非那种较为宽松的上界。关于此的论文预印本已然公开。其显式构造早已全然可供查阅。并且Lean 4形式化证明同样全部对外告知在公众视野之中。这些全部都能够独立检查。经全面检查之后确认没有任何差错。这堪称是AI首次在纯数学开放问题之上给出了完整答案。绝不是仅仅只是提供一些数值猜测而已。

与人类数学家的协作

此前, Gómez、陶哲轩等人运用优化搜索算法陈列候选集合, 然而计算成本伴随规模呈指数增长。Hyra 的突破 point 就在于通过 LLM 判断反馈引领探索, 把自然语言推理同形式化验证相融合。它不仅能够进行搜索, 还能够提出具备可证明性的构造思路, 而这是传统算法所无法达成的。

对数学研究的启示

此次成功将AI于符号推理以及构造性数学里的潜力加以展示, Hyra并没有采用暴力穷举方式, 而是借助十二进制结构寻觅到优雅证明, 未来类似的方法有可能被应用于其他尚未解决的组合问题, 然而也要清晰地认识到, 形式化证明仍旧需要人类去进行整理, 虽然AI目前是强大的助手但并非替代者。

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